秒杀容斥原理方法

 

　　在数量关系题型中，常考的有两种题型，分别是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解决容斥原理常用的方法有公式法和画图法，其中公式法解决容斥原理是非常快速的解题方法，只要学会公式，理解并能够熟练应用公式，那么容斥原理是考场中比较容易拿分的一种题型。

　　两集合容斥原理公式为：满足条件1的个数＋满足条件2的个数－两者都满足的个数＝总个数－两者都不满足的个数；

　　三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种。

　　三集合标准型容斥原理公式为：满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-满足两个条件的个数+三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数。

　　三集合非标准型容斥原理公式为：满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-“只”满足两个条件的个数-2×三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数。

　　【例1】学校有300个学生选择参加地理兴趣小组，生物兴趣小组或者两个小组同时参加。如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？

　　A.240

　　B.150

　　C.90

　　D.60

　　答案：C

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。

　　第二步，共两个兴趣小组，其中80%的学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组，根据两集合容斥原理公式：满足条件1的个数＋满足条件2的个数－两者都满足的个数＝总个数－两者都不满足的个数，设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%＝90（人）。因此，选择C选项。

　　【例2】学某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？

　　A.57

　　B.64

　　C.69

　　D.78

　　答案：B

　　【解析】第一步，本题考查容斥原理。

　　第二步，题目中满足两个条件的集合人数是分别给出的，应用三集合标准型容斥原理公式解题。设订阅B、C期刊的有x人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾数法求得尾数为4）。因此，选择B选项。

　　【例3】某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？

　　A.2

　　B.3

　　C.5

　　D.7

　　答案：C

　　【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

　　第二步，设参加三科竞赛的有x人，根据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。因此，选择C选项。